RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI DI SEMUA KUADRAN LENGKAP BESERTA CONTOH SOAL

Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah melihat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa yang besarnya kurang dari 90o (dinamakan sudut lancip).
Selanjutnya akan dibahas nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa yang besarnya lebih dari 90o.
Yang dimaksud sudut istimewa yaitu sudut 0o dan sudut kelipatan 30o dan 45o .

Dalam interval 0o ≤ x ≤  360o sudut-sudut tersebut dikelompokkan atas empat kuadran, yaitu :

Kuadran I , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 0o sampai 90o (dinamakan sudut lancip)
Kuadran II , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 90o sampai 180o (dinamakan sudut tumpul)
Kuadran III , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 180o sampai 270o
Kuadran IV , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 270o sampai 360o

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yakni :

- Dengan menggunakan aturan pelurus (180o – α), (180o + α ) dan (360o – α )
- dengan menggunakan aturan penyiku (90o + α ), (270o – α ) dan (270o + α ).

Untuk nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa dengan menggunakan aturan pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 0o ≤ x ≤  360o berlaku hubungan :

sin (180 – α) = sin α              sin (180 + α) = –sin α                 sin (360 – α) = –sin α

cos (180 – α) = –cos α           cos (180 + α) = –cos α               cos (360 – α) = cos α

tan (180 – α) = –tan α            tan (180 + α) = tan α                  tan (360 – α) = –tan α

Disamping itu, dengan menggunakan aturan penyiku terdapat pula hubungan antara nilai-nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran untuk sudut-sudut istimewa dalam interval  0o ≤ x ≤  360o  berlaku hubungan :

sin (90 – α) = cos α                           sin (90 + α) = cos α

cos (90 – α) = sin α                           cos (90 + α) = –sin α

tan (90 – α) = cot α                           tan (90 + α) = –cot α

sin (270 – α) = –cos α                       sin (270 + α) = –cos α

cos (270 – α) = –sin α                       cos (270 + α) = sin α

tan (270 – α) = cot α                         tan (270 + α) = –cot α

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut :

01. Tentukanlah nilai dari :
      (a) cos 150o                          (b) sin 225o
      (c) tan 240o                      

Jawab

03. Tentukanlah nilai dari :

Aturan lain yang diambil dari sudut (360 – α) adalah aturan sudut negatif. Dimana aturan yang dipakai adalah sebagai berikut:

sin (360 – α) = –sin α                cos (360 – α) = cos α                  tan (360 – α) = –tan α

sin (0 – α) = –sin α                    cos (0 – α) = cos α                      tan (0 – α) = –tan α

sin (–α) = –sin α                        cos (–α) = cos α                          tan (–α) = –tan α

Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri terhadap sudut-sudut yang besarnya lebih dari 360o maka digunakanlah aturan periodisitas trigonometri.

Nilai sinus dan cosinus akan berulang setiap kelipatan 360o sedangkan nilai tangens akan berulang setiap 180o. ini berati sin 30o = sin 390o = sin 750o dan seterusnya. Sehingga dapat dirumuskan :

sin (k.360 + α ) = sin α

cos (k.360 + α ) = cos α 

tan (k.180 + α ) = tan α

dimana k adalah bilangan bulat

Namun dalam praktiknya aturan periodisitas di atas dapat disederhanakan dengan rumusan :

sin (α – k.360) = sin α
cos (α – k.360) = cos α
tan (α – k.360) = tan α

dimana k adalah bilangan asli dan α ≥ k.360o

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut :

04. Tentukanlah nilai dari

05. Tentukanlah nilai dari
       (a) cos 930o                    (b) sin 1215o

Jawab

06. Tentukanlah nilai dari