Ringkasan Rumus Barisan dan Deret SMP
Kumpulan rumus matematika SMP Topik Barisan dan Deret bilangan.
A. Barisan dan Deret
Format Barisan
Format Deret
A. Barisan dan Deret
Format Barisan
Format Deret
B. Rumus Deret Aritmetika
Suku ke-n
Beda
atau
Jumlah n suku pertama
Jumlah n suku pertama
Suku Tengah
C. Rumus Deret Geometri
Rasio
Suku ke-n
Jumlah n suku pertama
atau
Suku Tengah (untuk banyak suku ganjil)
Rasio
Suku ke-n
Jumlah n suku pertama
atau
Suku Tengah (untuk banyak suku ganjil)
Contoh soal dan pembahasan barisan deret aritmetika, pola bilangan, materi kelas 9 smp. Tercakup menentukan suku ke-n, jumlah n suku pertama dari barisan deret aritmetika.
Soal No. 1
Perhatikan pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke 6!
Perhatikan pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke 6!
Pembahasan
Jika diterjemahkan dalam bilangan, pola di atas sebagai berikut:
3, 6, 10, 15,....
Kelihatan polanya:
Sehingga berturut-turut hingga pola ke-6:
3, 6, 10, 15, 21, 28
Jadi pola ke-6 ada 28 lingkaran.
Jika diterjemahkan dalam bilangan, pola di atas sebagai berikut:
3, 6, 10, 15,....
Kelihatan polanya:
Sehingga berturut-turut hingga pola ke-6:
3, 6, 10, 15, 21, 28
Jadi pola ke-6 ada 28 lingkaran.
Soal No. 2
Perhatikan pola bilangan berikut!
2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85,....., .....,
Tentukan bilangan ke-9 dan ke-10 dari pola di atas!
Pembahasan
Jika diperhatikan, sebenarnya terdapat dua buah pola bilangan yang diselang-seling.
2, 4, 7, 11, ....
+2, +3, + 4, +5 dst
100, 95, 90, 85,....
-5, -5, -5, -5, dst
Jadi
2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85, 16, 80
Soal No. 3
Perhatikan gambar pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50!
Pembahasan
Pola bilangan persegipanjang. Perhatikan pola bilangannya:
Sehingga untuk pola ke-50:
arah ke kanan : 50 + 3 = 53
arah ke atas : 50 + 1 = 51
Jadi banyaknya lingkaran pada pola ke-50 adalah = 53 × 51 = 2703 lingkaran.
Perhatikan pola bilangan berikut!
2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85,....., .....,
Tentukan bilangan ke-9 dan ke-10 dari pola di atas!
Pembahasan
Jika diperhatikan, sebenarnya terdapat dua buah pola bilangan yang diselang-seling.
2, 4, 7, 11, ....
+2, +3, + 4, +5 dst
100, 95, 90, 85,....
-5, -5, -5, -5, dst
Jadi
2, 100, 4, 95, 7, 90, 11, 85, 16, 80
Soal No. 3
Perhatikan gambar pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50!
Pembahasan
Pola bilangan persegipanjang. Perhatikan pola bilangannya:
Sehingga untuk pola ke-50:
arah ke kanan : 50 + 3 = 53
arah ke atas : 50 + 1 = 51
Jadi banyaknya lingkaran pada pola ke-50 adalah = 53 × 51 = 2703 lingkaran.
Soal No. 4
Perhatikan gambar pola berikut!
Banyak lingkaran pada pola ke-10 adalah….
A. 90 buah
B. 110 buah
C. 120 buah
D. 132 buah
(Un mtk smp 08)
Pembahasan
Senada dengan soal nomor 3, diperoleh untuk pola ke-10:
ke atas = 10 + 0
ke kanan = 10 + 1
Sehingga banyak lingkaran = 10 × 11 = 110 lingkaran
Perhatikan gambar pola berikut!
Banyak lingkaran pada pola ke-10 adalah….
A. 90 buah
B. 110 buah
C. 120 buah
D. 132 buah
(Un mtk smp 08)
Pembahasan
Senada dengan soal nomor 3, diperoleh untuk pola ke-10:
ke atas = 10 + 0
ke kanan = 10 + 1
Sehingga banyak lingkaran = 10 × 11 = 110 lingkaran
Soal No. 5
Sekelompok burung terbang di udara dengan formasi membentuk deret aritmetika sebagai berikut.
Barisan pertama terdiri satu ekor burung.
Barisan kedua terdiri tiga ekor burung
Barisan ketiga terdiri lima ekor burung
Barisan keempat terdiri tujuh ekor burung.
Jika jumlah barisan dalam formasi tersebut ada 10 tentukan:
a) Jumlah burung pada barisan terakhir
b) Jumlah semua burung yang ada dalam kelompok tersebut
Sekelompok burung terbang di udara dengan formasi membentuk deret aritmetika sebagai berikut.
Barisan pertama terdiri satu ekor burung.
Barisan kedua terdiri tiga ekor burung
Barisan ketiga terdiri lima ekor burung
Barisan keempat terdiri tujuh ekor burung.
Jika jumlah barisan dalam formasi tersebut ada 10 tentukan:a) Jumlah burung pada barisan terakhir
b) Jumlah semua burung yang ada dalam kelompok tersebut
Pembahasan
Barisan yang terbentuk adalah: 1, 3, 5, 7, ...
Suku pertama a = 1
Beda b = 3 − 1 = 2
Barisan yang terbentuk adalah: 1, 3, 5, 7, ...
Suku pertama a = 1
Beda b = 3 − 1 = 2
a) Jumlah burung pada barisan terakhir
Barisan terakhir berarti n = 10 menentukan suku ke -10 atau U10:
Un = a + (n − 1)b
U10 = 1 + (10 − 1)2
U10 = 1 + 9 × 2 = 1 + 18 = 19 burung
b) Jumlah semua burung yang ikut ada dalam kelompok tersebut
Jumlah 10 suku pertama, n = 10, mencari S10
Sn = n/2 [2a + (n − 1)b]
S10 = 10/2 [2×1 + (10 − 1)2]
S10 = 5 [2 + 18] = 5× 20 = 100 burung
Soal No. 6
Diberikan sebuah barisan:
4, 12, 20, 28,...
Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas!
Pembahasan
a = 1
b = 12 − 4 = 8
n = 40
Un = a + (n − 1)b
U40 = 4 + (40 − 1)8
U40 = 4 + 312 = 316
Soal No. 7
Diberikan sebuah deret:
−10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + ....
Tentukan suku ke-17
Pembahasan
a = − 10
b = −6 −(−10) = 4
n = 17
Un = a + (n−1)b
U17 = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54
Soal No. 8
Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah....
A. –27
B. –21
C. –15
D. –9
(UN Matematika SMP 2008)
Pembahasan
99, 93, 87, 81,...
a = 99
b = 93 − 99 = −6
Un = a + (n −1)b
Un = 99 + (22 − 1)(−6)
Un = 99 + (21)( −6) = 99 − 126 = − 27
Soal No. 9
Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah....
A. 80
B. 70
C. 60
D. 50
(UN Matematika SMP 2009)
Pembahasan
U9 = 2n (n − 1) = 2(9) (9 − 1) = 18 (8) = 144
U7 = 2n (n − 1) = 2(7) (7 − 1) = 14 (6) = = 64
U9 − U7 = 144 − 64 = 80
Soal No. 10
Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah....
Barisan terakhir berarti n = 10 menentukan suku ke -10 atau U10:
Un = a + (n − 1)b
U10 = 1 + (10 − 1)2
U10 = 1 + 9 × 2 = 1 + 18 = 19 burung
b) Jumlah semua burung yang ikut ada dalam kelompok tersebut
Jumlah 10 suku pertama, n = 10, mencari S10
Sn = n/2 [2a + (n − 1)b]
S10 = 10/2 [2×1 + (10 − 1)2]
S10 = 5 [2 + 18] = 5× 20 = 100 burung
Soal No. 6
Diberikan sebuah barisan:
4, 12, 20, 28,...
Tentukan suku ke-40 dari barisan di atas!
Pembahasan
a = 1
b = 12 − 4 = 8
n = 40
Un = a + (n − 1)b
U40 = 4 + (40 − 1)8
U40 = 4 + 312 = 316
Soal No. 7
Diberikan sebuah deret:
−10 + (−6) + (−2) + 2 + 6 + ....
Tentukan suku ke-17
Pembahasan
a = − 10
b = −6 −(−10) = 4
n = 17
Un = a + (n−1)b
U17 = −10 + (17 − 1)4 = −10 + 64 = 54
Soal No. 8
Suku ke-22 dari barisan 99, 93, 87, 81,...adalah....
A. –27
B. –21
C. –15
D. –9
(UN Matematika SMP 2008)
Pembahasan
99, 93, 87, 81,...
a = 99
b = 93 − 99 = −6
Un = a + (n −1)b
Un = 99 + (22 − 1)(−6)
Un = 99 + (21)( −6) = 99 − 126 = − 27
Soal No. 9
Rumus suku ke-n barisan adalah Un = 2n (n − 1) . Hasil dari U9 – U7 adalah....
A. 80
B. 70
C. 60
D. 50
(UN Matematika SMP 2009)
Pembahasan
U9 = 2n (n − 1) = 2(9) (9 − 1) = 18 (8) = 144
U7 = 2n (n − 1) = 2(7) (7 − 1) = 14 (6) = = 64
U9 − U7 = 144 − 64 = 80
Soal No. 10
Dua suku berikutnya dari barisan bilangan 50, 45, 39, 32, … adalah....
A. 24, 15
B. 24, 16
C. 25, 17
D. 25, 18
(UN Matematika SMP 2010)
Pembahasan
Perhatikan polanya adalah sebagai berikut:
B. 24, 16
C. 25, 17
D. 25, 18
(UN Matematika SMP 2010)
Pembahasan
Perhatikan polanya adalah sebagai berikut:
50, 45, 39, 32, ....., ......
_____ _____ _____ ______ ______
− 5 −6 −7 −8 −9
_____ _____ _____ ______ ______
− 5 −6 −7 −8 −9
Sehingga suku berikutnya adalah 32 − 8 = 24 dan 24 − 9 = 15
Soal No. 11
Diketahui suku ke 4 dari suatu deret aritmetika adalah 24 dan suku ke-9 adalah 44. Tentukan suku ke-21 dari deret tersebut!
Pembahasan
Un = a + (n − )b
Untuk suku ke-4
U4 = a + (4 − 1)b
24 = a + 3b ....persamaan (1)
Untuk suku ke-9
U9 = a + (9 − 1)b
44 = a + 8b ....persamaan (2)
Gabungkan persamaan (2) dan (1)
Soal No. 12
Seorang pekerja menyusun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika seperti terlihat pada gambar berikut.
Tentukan jumlah batu-bata pada susunan ke-8!
Pembahasan
Dari:
3, 6, 9,...
a = 3
b = 3
U8 =......
Un = a + (n − 1)b
U8 = 3 + (8 − 1)3 = 3 + 7(3) = 3 + 21 = 24 batu-bata
Soal No. 13
Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut!
Pembahasan
Data:
U4 + U7 = 81
U4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga
U4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b)
U4 + U7 = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U1 = a = 18
Soal No. 14
Suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4 adalah 14, tentukan suku ke-8!
Pembahasan
Data :
U1 = a = 2
U6 = a + 5b
U4 = a + 3b
U6 − U4 = 14
a + 5b −(a + 3b) = 14
2b = 14
b = 14/2 = 7
Sehingga suku ke-8
U8 = a + 7b
U8 = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51
Diketahui suku ke 4 dari suatu deret aritmetika adalah 24 dan suku ke-9 adalah 44. Tentukan suku ke-21 dari deret tersebut!
Pembahasan
Un = a + (n − )b
Untuk suku ke-4
U4 = a + (4 − 1)b
24 = a + 3b ....persamaan (1)
Untuk suku ke-9
U9 = a + (9 − 1)b
44 = a + 8b ....persamaan (2)
Gabungkan persamaan (2) dan (1)
Soal No. 12
Seorang pekerja menyusun batu-bata hingga membentuk barisan aritmetika seperti terlihat pada gambar berikut.
Tentukan jumlah batu-bata pada susunan ke-8!
Pembahasan
Dari:
3, 6, 9,...
a = 3
b = 3
U8 =......
Un = a + (n − 1)b
U8 = 3 + (8 − 1)3 = 3 + 7(3) = 3 + 21 = 24 batu-bata
Soal No. 13
Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah suku ke-4 dan suku ke-7 adalah 81. Jika deret tersebut memiliki beda 5, tentukan suku pertama deret tersebut!
Pembahasan
Data:
U4 + U7 = 81
U4 = a + 3b dan U7 = a + 6b sehingga
U4 + U7 = (a + 3b) + (a + 6b)
U4 + U7 = 2a + 9b
81 = 2a + 9b
81 = 2a + 9(5)
81 = 2a + 45
2a = 81 − 45
2a = 36
a = 18
U1 = a = 18
Soal No. 14
Suku pertama dari suatu barisan aritmetika adalah 2. Jika selisih suku ke-6 dan suku ke-4 adalah 14, tentukan suku ke-8!
Pembahasan
Data :
U1 = a = 2
U6 = a + 5b
U4 = a + 3b
U6 − U4 = 14
a + 5b −(a + 3b) = 14
2b = 14
b = 14/2 = 7
Sehingga suku ke-8
U8 = a + 7b
U8 = 2 + 7(7) = 2 + 59 = 51
Soal No. 15
Perhatikan pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50!
Pembahasan
Seperti soal nomor 1, namun untuk pola yang ke 50, tentunya tidak dengan dijumlahkan satu-satu sampai 50 kali, tapi dengan cara lain.
Perhatikan pola berikut
Tentukan banyaknya lingkaran pada pola ke-50!
Pembahasan
Seperti soal nomor 1, namun untuk pola yang ke 50, tentunya tidak dengan dijumlahkan satu-satu sampai 50 kali, tapi dengan cara lain.
Cara Pertama
Perhatikan ilustrasi berikut,
Kelihatan:
1 + 2 (Pola 1, ada 2 suku, terakhirnya angka 2)
1 + 2 + 3 (Pola 2, ada 3 suku, terakhirnya angka 3)
1 + 2 + 3 + 4 (Pola 3, ada 4 suku, terakhirnya angka 4)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 (Pola 4, ada 5 suku, terakhirnya angka 5)
Perhatikan ilustrasi berikut,
Kelihatan:
1 + 2 (Pola 1, ada 2 suku, terakhirnya angka 2)
1 + 2 + 3 (Pola 2, ada 3 suku, terakhirnya angka 3)
1 + 2 + 3 + 4 (Pola 3, ada 4 suku, terakhirnya angka 4)
1 + 2 + 3 + 4 + 5 (Pola 4, ada 5 suku, terakhirnya angka 5)
dan seterusnya, sehingga untuk banyak lingkaran yang ada pada pola ke-50 dengan mengikuti pola di atas:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +.........+ 51 (Pola 50, ada 51 suku, terakhirnya angka 51)
Pada pola ke-50 ini terbentuk deret aritmetika, ada 51 suku:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ........,51
Jadi datanya:
a = 1
b = 1
n = 51
diperoleh rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh:
Jumlah lingkaran pada pola ke 50 ada 1326 lingkaran.
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +.........+ 51 (Pola 50, ada 51 suku, terakhirnya angka 51)
Pada pola ke-50 ini terbentuk deret aritmetika, ada 51 suku:
1, 2, 3, 4, 5, 6, ........,51
Jadi datanya:
a = 1
b = 1
n = 51
diperoleh rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika diperoleh:
Jumlah lingkaran pada pola ke 50 ada 1326 lingkaran.
Cara Kedua
Pisahkan tiap pola jadi dua bagian, atas dan bawah, gambar seperti berikut:
Pada bagian atas, diperoleh angka 1, 3, 6, 10,.....dst. Angka-angka ini memenuhi pola bilangan segitiga yang memiliki rumus pola ke-n:
Sehingga untuk pola atau suku ke-50 pada bagian atasnya saja, terdapat lingkaran sebanyak
Pada bagian bawah terlihat pola rumusnya tinggal ditambah 1 atau n + 1, jadi untuk pola ke 50 bagian bawahnya ada 50 + 1 = 51 lingkaran.
Jumlahkan bagian atas dengan bagian bawah tadi untuk memperoleh banyak lingkaran pada pola ke 50:
= 1275 + 51
= 1326 lingkaran.
Pisahkan tiap pola jadi dua bagian, atas dan bawah, gambar seperti berikut:
Pada bagian atas, diperoleh angka 1, 3, 6, 10,.....dst. Angka-angka ini memenuhi pola bilangan segitiga yang memiliki rumus pola ke-n:Sehingga untuk pola atau suku ke-50 pada bagian atasnya saja, terdapat lingkaran sebanyak
Pada bagian bawah terlihat pola rumusnya tinggal ditambah 1 atau n + 1, jadi untuk pola ke 50 bagian bawahnya ada 50 + 1 = 51 lingkaran.
Jumlahkan bagian atas dengan bagian bawah tadi untuk memperoleh banyak lingkaran pada pola ke 50:
= 1275 + 51
= 1326 lingkaran.
Cara Ketiga
Jika dilihat deret : 3, 6, 10,... seperti deret 1, 3, 6, 10,... juga namun tanpa angka 1 (dihilangkan suku pertamanya) sehingga saat ditanya pola ke 50 untuk 3, 6, 10,... akan sama hasilnya dengan saat mencari suku ke 51 untuk untuk 1, 3, 6, 10,...
Sehingga:
Jika dilihat deret : 3, 6, 10,... seperti deret 1, 3, 6, 10,... juga namun tanpa angka 1 (dihilangkan suku pertamanya) sehingga saat ditanya pola ke 50 untuk 3, 6, 10,... akan sama hasilnya dengan saat mencari suku ke 51 untuk untuk 1, 3, 6, 10,...
Sehingga:
0 komentar